特征方程（characteristic equation）
如何解一个常系数线性常微分方程而不必胡乱猜测？你作一个有灵感的猜测——解是指数 e^(r x)——然后让方程告诉你哪些指数 r 是允许的。把这个猜测代入，整个微分方程便坍缩成一个关于 r 的普通多项式方程。那个多项式就是特征方程，它把微积分变成了代数。
对 a y'' + b y' + c y = 0，试探解 e^(r x) 给出 (a r^2 + b r + c) e^(r x) = 0，由于指数永不为零，便需要 a r^2 + b r + c = 0。根的三种情形产生三种解的形态：两个相异实根 r_1、r_2 给出 c_1 e^(r_1 x) + c_2 e^(r_2 x)；一个重实根 r 给出 (c_1 + c_2 x) e^(r x)，多出的 x 提供第二个无关解；一对复根 alpha 加减 i beta 给出 e^(alpha x)(c_1 cos beta x + c_2 sin beta x)，其中虚部经欧拉公式化为振荡。
这是整个机械与电学振动领域的主力，因为那些系统恰恰是常系数线性常微分方程。根的实部符号决定系统是衰减还是发散（稳定性）；虚部设定振荡频率。同样的特征多项式想法以方程组的本征值问题之形式再现——在那里，根是系数矩阵的本征值。
y'' - 4y' + 13y = 0 给出 r^2 - 4r + 13 = 0，根 r = 2 加减 3i。故 y = e^(2x)(c_1 cos 3x + c_2 sin 3x)：一个频率为 3、包络像 e^(2x) 那样增长的振荡。
复根 alpha 加减 i beta 化为 e^(alpha x) 的增长/衰减乘以频率 beta 的振荡。
指数猜测之所以成立，仅仅因为系数是常数。对变系数方程（如柯西–欧拉方程或贝塞尔方程），并不存在这种形式的特征方程——你需要其他方法。