本征值法（eigenvalue method）
要解单个常系数方程，你猜 y = e^(r t)。要解系统 x' = A x，你作对应的猜测：x = v e^(lambda t)，一个固定方向的向量 v 骑在单一指数之上。本征值法正是系统化地找出矩阵 A 究竟允许哪些方向、哪些增长率的方法。
把 x = v e^(lambda t) 代入 x' = A x，得 lambda v e^(lambda t) = A v e^(lambda t)，故 A v = lambda v：v 必须是 A 的本征向量、lambda 是其本征值。你通过解 det(A - lambda I) = 0 求本征值，再求本征向量。每一对本征对给出一个解 v e^(lambda t)；把 n 个无关的叠加起来便得通解。根的三种情形对应单方程的故事：相异实本征值给出纯指数模态；复本征值 alpha 加减 i beta 给出旋进的振荡 e^(alpha t) 乘以正弦；本征向量过少的重本征值则需要一个带因子 t 的广义本征向量解。
本征值法是微分方程与线性代数之间的桥梁，也是本征值在应用科学中如此核心的原因。每个本征值是一个固有速率；每个本征向量是一个固有模态——一种特殊的初始状态，整个系统在其中以单一指数演化而不改变形状。振动的简正模、主轴、平衡点的稳定性，都直接来自这一图景：本征值实部的符号决定系统是衰减归静、还是发散失控。
对 A = [1, 1; 4, 1]，det(A - lambda I) = (1-lambda)^2 - 4 = 0 给出 lambda = 3 与 lambda = -1，本征向量为 (1, 2) 与 (1, -2)。故 x = c_1 (1, 2) e^(3t) + c_2 (1, -2) e^(-t)。
每一对本征对贡献一个模态 v e^(lambda t)；把它们叠加便得通解。
重本征值并不自动需要“t”项——仅当它“亏损”、即无关本征向量少于其重数时才需要。若它仍提供足够的本征向量，普通指数模态便足够。