基解矩阵（fundamental matrix）
对单个方程，基本解组是一列无关的解函数。对系统 x' = A x，其类比是把那些无关的向量解作为一个矩阵的各列排好。那个矩阵 Phi(t) 一次打包了每一个解，是陈述通解、施加初值条件、乃至处理强迫的合适对象。
确切地说，若 x_1(t), ..., x_n(t) 是 x' = A x 的 n 个线性无关解，基解矩阵就是 Phi(t) = [ x_1(t) | ... | x_n(t) ]，每列一个解。它满足矩阵方程 Phi'(t) = A Phi(t)，其各列无关当且仅当其行列式（系统的朗斯基行列式）非零。于是通解就是 x(t) = Phi(t) c，c 为常向量；满足初值 x(t_0) = x_0 的解是 x(t) = Phi(t) Phi(t_0)^(-1) x_0——组合 Phi(t) Phi(t_0)^(-1) 就是把任意状态向前传播的状态转移矩阵。
基解矩阵是线性系统的核心计算对象，也是线性控制与动力系统理论的基础。它还能干净地给出受迫解：系统的参数变易法给出 x_p = Phi(t) 乘以 对 Phi(s)^(-1) g(s) ds 的积分。当选取特殊归一化 Phi(t_0) = I 时，基解矩阵恰是矩阵指数 e^(A(t - t_0))——所以 e^(At) 不过是那个在 t = 0 处等于单位矩阵的特定基解矩阵。
以模态 (1, 2) e^(3t) 与 (1, -2) e^(-t)，基解矩阵是 Phi(t) = [e^(3t), e^(-t); 2 e^(3t), -2 e^(-t)]。则 x(t) = Phi(t) c 复现每一个解，而 Phi(t) Phi(0)^(-1) x_0 拟合任意初始状态。
把无关的向量解作为列排好，便得一个承载全部解的单一矩阵。
基解矩阵并不唯一——任何右乘常数可逆矩阵 C 得到的 Phi(t) C 都是另一个有效的基解矩阵。矩阵指数 e^(At) 是唯一在 t = 0 处归一化为单位矩阵的那一个。