朗斯基行列式（Wronskian）

假设你有两个候选解，想要一个单一的数来告诉你它们是真正不同、还是只是缩放后偷偷相同。朗斯基行列式正是这个数——由函数及其导数构成的一个行列式——它作为线性微分方程解的无关性检测器而起作用。

对函数 y_1, ..., y_n，朗斯基行列式 W(x) 是这样一个矩阵的行列式：第一行是函数本身，第二行是它们的一阶导数，依此向下直到 (n-1) 阶导数。对两个函数，它就是 W = y_1 y_2' - y_2 y_1'。若 y_1、y_2 是同一个二阶线性常微分方程 y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 的解，则阿贝尔恒等式给出 W(x) = W(x_0) exp(-从 x_0 到 x 对 p 的积分)。指数项永不为零，故 W 在区间上要么恒为零、要么永不为零——一个干净的全有或全无检验。

除了检测无关性，朗斯基行列式是参数变易法的引擎：特解公式中要除以 W。它出现在稳定性分析中、在唯一性定理的证明中，以及特殊函数方程的理论中（在那里阿贝尔恒等式把譬如贝塞尔方程的两个无关解联系起来）。它以波兰思想家约瑟夫·赫内-朗斯基命名，是每位应用数学家随身携带的少数几个行列式之一。