解的线性无关（linear independence of solutions）

如果你已经有了某微分方程的解 e^x，那么 2 e^x 和 -7 e^x 不会告诉你任何新东西——它们只是被重新缩放。要构建完整的答案，你需要真正指向不同方向的解，使得没有哪一个藏在其他解里面。线性无关正是“真正不同”的精确表述。

区间上的解 y_1, ..., y_n 线性无关，是指：使 c_1 y_1 + ... + c_n y_n = 0 对区间内所有 x 成立的常数，只有 c_1 = ... = c_n = 0。若反之存在某个非平凡组合恒为零，则这些函数线性相关，其中之一是其余者的组合。对线性常微分方程的解，有一条强有力的捷径：它们无关，当且仅当其朗斯基行列式在区间上某处非零——无需去检验无穷多种组合。

为何重要：n 阶线性齐次常微分方程的解空间维数恰为 n，因此 n 个线性无关的解构成一组基，每个解都是它们的唯一组合。无关性保证你有足够多真正不同的构件去满足任意 n 个初值条件。把相关的解误当作无关的，会留下一组不足的解，无法满足任意的初始数据。