齐次解加特解（homogeneous plus particular solution）

推一个孩子荡秋千，完整的运动有两种成分：秋千自身固有的摆动（即使不推也会发生，并依摩擦或慢慢消退或持续），以及由你有节奏的推动所强迫出的稳定响应。线性非齐次常微分方程的完整解恰恰是这种两部分的形态，认出它就能精确告诉你必须找什么、又如何拼出答案。

定理：L[y] = g(x) 的通解是 y = y_h + y_p，其中 y_h 是齐次方程 L[y] = 0 的通解（它带着全部任意常数，本身是一组基本解的叠加），而 y_p 是 L[y] = g 的任意一个特解。理由很短：若 y 与 y_p 都满足 L[y] = g，则它们的差满足 L[y] = 0，因而是某个 y_h；于是 y = y_h + y_p。y_h 部分提供满足初值或边值条件所需的自由度；y_p 部分刻画强迫响应。

这种拆分是本领域所有线性常微分方程解法的总纲。你由特征方程（常系数情形）或其他方法求 y_h，再由待定系数法或参数变易法求 y_p。在振动问题中它具有清晰的物理意义：y_h 是衰减的暂态（自由振动），y_p 是系统在持续强迫下趋向的稳态——这往往是工程师最终关心的部分。