通解与特解（general and particular solution）

解微分方程通常不会只交给你一个答案——而是交给你一整族答案，像一张可以上下滑动的模板。通解就是这一整族，写出来时里面还浮着任意常数。特解是这族里被固定下来的某一个成员，常数被钉成了具体的数。这个区别，就是「一切下落物体的定律」和「这块从这道崖、在这一刻落下的特定石头」之间的区别。

对一阶方程，通解恰好携带一个任意常数，习惯写作 C——例如 dy/dx = y 的通解是 y = C*e^x，一族上下叠放的指数曲线。施加初始条件（比如 y(0) = 3，得 C = 3）来固定 C，就选出一个特解 y = 3*e^x。一般地，n 阶方程的通解携带 n 个任意常数，每阶一个，你每施加一个附加条件就消耗掉一个。这些常数，正是积分后留下的、被记录下来的「自由度」。

这是你将遇到的几乎每一种解法背后的组织思想。对线性方程，它锐化成一条干净的配方——通解等于一个特解加上对应齐次方程的通解——这正是下一领域以「齐次加特解」开篇的原因。把这本账记清楚（有几个常数、在哪里被固定），就是「正确地解出」一个微分方程的大半要义。