初值问题（initial-value problem）

光有一个微分方程，就像有运动定律却没有出发点：它说出事物如何变化，却没说从哪里开始。初值问题补上了这个缺失的起点。它是方程，外加一个把解在某一特定瞬间的值固定下来的条件——不仅回答「它如何演化？」，还回答「它从哪里出发？」。

具体而言，一阶初值问题是 dy/dx = f(x, y) 这个方程，配上初始条件 y(x_0) = y_0。方程本身有充满平面的一整族解曲线；初始条件挑出那条穿过指定点 (x_0, y_0) 的唯一曲线。这正是一阶方程所需的那一个额外事实（因为它的阶是一），把带一个自由常数的解族变成一个确定的特解。「初值」之名来自典型的物理设定：x 是时间，y_0 是 x_0 时刻的状态——但在数学上它只意味着「在单个点上施加的条件」。

初值问题是应用数学的日常货币：从已知高度以已知速度发射的抛体、合闸时带已知电荷的电路、某一年的人口普查。关键在于，一个初值问题是否有解、是否唯一，并非理所当然——这恰是皮卡-林德洛夫存在唯一性定理要回答的问题。欧拉法等数值求解器也正是为从已知起点把初值问题向前推进而设计的。