微分方程的阶（order）

第一卷提到过「微分方程」这个词——一个把未知函数和它自身的导数联系起来的方程——然后基本上就放下不管了。对任何这样的方程，要问的头一个问题是：求导到底走了几层深？这个层数就是阶。它是微分方程身上最重要的一个标签，正如「二次」是二次方程最醒目的事实。

确切地说，阶是方程中出现的最高阶导数的次数。方程 dy/dx = x*y 是一阶的，因为 dy/dx 是最高的了。方程 d^2y/dx^2 + omega^2 y = 0（简谐振子）是二阶的，因为有二阶导数。含 d^3y/dx^3 的方程是三阶的，哪怕里面也出现一阶导数——只看最高的那一个。本领域研究的全是一阶方程：可写成 dy/dx = f(x, y) 的、只深一层导数的方程。

阶之所以重要，是因为它预告了解所携带的自由度有多少。一阶方程需要一个额外条件才能定出唯一解（比如 y 在某一点的值）；n 阶方程需要 n 个。这就是为什么一阶初值问题在某一瞬间固定 y，而二阶问题——一个振动的质点——既需要初始位置又需要初始速度。阶是一种记账法，告诉你要追多少个积分常数。