微分方程的次数（degree）

阶告诉你求导有多深；次数是它的搭档标签，告诉你最高阶导数以多么非线性的方式进入方程。若说阶是一栋楼盖到第几层，次数大致就是顶层是什么形状。两者合起来正是描述一个方程的经典开场白：「一阶一次」之类。

次数只有在方程被清除掉导数的分数幂和无理幂之后才有定义——即写成关于各导数的多项式形式。这时次数就是最高阶导数被升到的幂次。于是 dy/dx = x + y 是一次的；(dy/dx)^2 + y = 0 是二次的；而 d^2y/dx^2 + (dy/dx)^3 = x 是一次的（最高阶导数即二阶导数是一次幂——那个立方在更低阶的导数上，不算）。若方程根本无法写成这样的多项式——比如 dy/dx = sin(dy/dx)，或导数被装进了一个非多项式函数里——则次数无定义。

实践中，次数远不如阶那么吃重，做分析的人很少用得到它。它主要用于干净的分类，以及一个诚实的事实：一个对所有导数都是一次的方程，唯有当系数不含 y 时才恰好是线性方程。一次是线性的必要而非充分条件——这正是为什么「线性与非线性」被当作一个独立的、更有用的区分来对待。