克莱罗方程（Clairaut equation）

克莱罗方程是看奇解凭空冒出来的最干净的地方，它有一种奇特的自指模样：函数用它自己的导数来表达。它是教科书式的例子——通解是一族直线，可偏偏还有一个额外的、弯曲的解，族中没有任何一条直线等于它——那条它们全都贴合的包络。

它的形式是 y = x*(dy/dx) + g(dy/dx)——未知 y 等于 x 乘以它的斜率 p = dy/dx，再加上同一斜率的某个函数 g。求解方法是对整个方程关于 x 求导。消去后剩下一个等于零的乘积，分成两种情况。第一种令 dy/dx 等于一个常数；回代得通解 y = C*x + g(C)，一族单参数直线（每个斜率 C 对应一条直线）。第二种正是给出奇解的那个：它迫使一个关系，与原方程联立后描出所有这些直线的包络——一条与每条直线相切、却不属于任何一条的单一曲线。

克莱罗方程作为求解配方的意义较小，作为两个诚实微妙之处的典范例证则意义更大：「通解」未必包含每一个解，以及存在唯一性定理的保证恰恰在包络上失效——那里利普希茨条件不成立。它在几何与光学中也确实出现——光线的包络（焦散）和直线族的包络都来自克莱罗型关系。它是「求解的代数」与「包络的几何」之间的桥梁。