线性与非线性常微分方程（linear vs nonlinear ODE）
这是微分方程道路上最关键的一个岔口——比阶或次数都更具决定性。一边是线性方程，那是一片温和、已被详尽测绘的国度，几乎所有干净的技巧都住在那里。另一边是非线性方程，一片更狂野的疆域，解可能爆破、分裂，或根本写不出闭式。知道自己身在哪一边，立刻就知道能用哪些工具。
若未知函数及其所有导数都只以一次幂出现、彼此从不相乘、也从不被装进非线性函数里，则该常微分方程是线性的。对一阶而言，这意味着它可写成标准形 dy/dx + P(x)*y = Q(x)：y 单独出现、一次幂、系数可依赖 x 但绝不依赖 y。其余一切都是非线性的。于是 y' + x*y = sin(x) 是线性的；y' = y^2 是非线性的（y 平方）；y' = y*y' 是非线性的（未知量相乘）；y' = sin(y) 是非线性的（y 在正弦里）。系数可以是 x 的凶猛函数——这不破坏线性；线性说的是 y 及其导数如何进入，与 x 无关。
它之所以如此重要，根源在叠加原理：对线性方程，解的求和与数乘行为可预测，这恰恰让我们能构造通解、使用傅里叶方法、变换，乃至整套数学物理机器。非线性方程放弃了这份馈赠；多数没有初等解，只能定性地（方向场、相线）或数值地（欧拉法及其后继）去攻。本领域里最巧妙的招数——伯努利与里卡蒂代换——正是把某些特殊非线性方程变回线性方程的把戏。
逻辑斯蒂方程 dy/dt = r*y*(1 - y/K) 是非线性的（含 y*y 项），这恰恰是它的增长会饱和、而非指数狂奔的原因。去掉饱和项就得到 dy/dt = r*y，即无约束指数增长的线性律。
非线性不是缺陷——正是它造就了饱和、阈值与丰富的行为。
常见的错判：因为系数是 x 的丑陋函数（如 e^(x^2) 或 1/sqrt(x)）就说方程非线性。其实不然——对自变量 x 的任意复杂依赖都没问题。线性与否只看 y 及其导数如何出现。