一阶线性方程（linear first-order equation）

这是一阶理论的主力方程——每一次都有保证的、公式化的解。不同于可分离情形（那是结构上的幸运巧合）或非线性情形（通常没有闭式），一阶线性方程总能用一条固定配方求出闭式解。只要你能把方程化成它的样子，基本上就大功告成。

它的标准形是 dy/dx + P(x)*y = Q(x)：未知量 y 单独出现、一次幂，只被一个 x 的函数相乘，右边 Q(x)（驱动项或源项）只依赖 x。解由积分因子 mu(x) = e^(对 P(x) 积分) 给出。乘整个方程把左边变成 d/dx(mu*y)，于是一次积分得 y = (1/mu)*(积分 mu*Q dx + C)。当 Q = 0 时方程齐次，答案就是 y = C/mu = C*e^(-积分 P)，一个指数；非零的 Q 加上由源驱动的特解响应。这种拆分——齐次部分加特解部分——正是后续整套线性理论的种子。

这类方程刻画了极其广泛的一阶线性系统：RC 或 RL 电路、有进出流的混合槽、带稳定补给的放射性衰变、环境温度变化下的牛顿冷却。可靠性正是要点——给定标准形，积分因子公式从不失手，这正是为什么人们花大力气（如伯努利与里卡蒂代换）把别扭的非线性方程变换成这个可信赖的线性样子。