可分离变量方程（separable equation）
可分离变量方程是最友善的一阶方程，也是你应当最先尝试的那一类。它幸运的结构是：两个变量可以被剥开——所有含 y 的赶到一边，所有含 x 的赶到另一边——于是微分方程坍缩成两个你早已会算的普通积分。一旦行得通，求解几乎是机械的。
若 dy/dx 可写成乘积 g(y)*h(x)，一个因子只含 y、一个只含 x，则方程可分离。于是你分离变量：化为 (1/g(y)) dy = h(x) dx，再两边各自独立积分——积分 (1/g(y)) dy = 积分 h(x) dx + C。两次积分得到的单个常数 C 承载整族。对 dy/dx = x*y，除以 y 得 (1/y) dy = x dx；积分得 ln|y| = x^2/2 + C，故 y = A*e^(x^2/2)。整套方法不过是链式法则反过来用，再加点包装。
可分离方程在初等建模中无处不在，因为许多基本定律都说「变化率正比于某个简单的量」：放射性衰变、牛顿冷却定律、无约束的种群增长，乃至（经过第一步代数后）逻辑斯蒂方程，都可分离。诚实的局限是：可分离是一种结构上的巧合——多数方程并不可分离，你也无法强迫它们分离。针对这一点的两个后续招数，是线性方程的积分因子，以及齐次型与伯努利型的代换。
牛顿冷却定律 dT/dt = -k*(T - T_env) 分离为 dT/(T - T_env) = -k dt。两边积分得 ln|T - T_env| = -k*t + C，故 T = T_env + A*e^(-k*t)：温度指数式地弛豫到室温。
把变量分离，每边各积分一次，解族即现。
为分离而除以 g(y) 时，你可能悄悄丢掉了 g(y) = 0 处的常数解（这里是 T = T_env）。它们是真实的解，应当单独检验——除以一个可能为零的因子，正是可分离方法漏掉解的经典之处。