换元积分法（u-substitution）

换元积分法是处理那些不合基本套路的积分时，第一个真正管用的技巧。它的想法是：把被积函数里乱糟糟的某个内部部分改名为一个新字母 u，于是整个式子坍缩成你早已会积分的简单形式。这就像暂时把一段复杂的话装进一个盒子，对盒子做轻松的处理，最后再开盒还原。

它就是链式法则的逆运算。链式法则说，复合函数的导数等于外层导数乘以内层导数；按这种方式得来的积分，便暗含一个内层函数导数的因子。于是你令 u = g(x)，算出 du = g'(x) dx，再把两部分替换掉：integral f(g(x)) g'(x) dx 就变成 integral f(u) du。例如在 integral 2x cos(x^2) dx 中，令 u = x^2，则 du = 2x dx，积分化为 integral cos(u) du = sin(u) + C = sin(x^2) + C。

诀窍在于看出那个内层函数——它的导数（也许相差一个常数）也正待在积分里。对定积分，你有两条干净的路：把上下限换成 u 的值并在 u 下算完；或先换回 x，再代入原来的上下限——但绝不要混用，拿 x 的上下限去配 u 的表达式。当所需的 g'(x) 因子缺失或多余时，单靠换元就不行了，你就得动用别的方法，比如分部积分。