链式法则（chain rule）

想象两个相互啮合的齿轮。如果大齿轮转得是小齿轮的两倍快，而小齿轮又是你手里曲柄的三倍快，那么转动曲柄就让大齿轮以 2 乘 3 = 6 倍于你手速的速度旋转。变化率沿着一条链相乘。链式法则正是这个想法，用在彼此衔接、互相喂入的函数上。

当一个函数由复合搭成时——把 f 作用在 g(x) 上，写作 f(g(x))——链式法则说：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)。用话说就是：先对外层函数求导（内部原封不动），再乘以内部的导数。用莱布尼茨记号写出来格外漂亮：dy/dx = (dy/du)(du/dx)，仿佛那两个 du 约掉了一样。例如，给 (3x^2 + 1)^5 求导：外层是 (某式)^5，导数为 5(某式)^4，而内层 3x^2 + 1 的导数是 6x，于是答案是 5(3x^2 + 1)^4 * 6x。

链式法则是让其他法则得以大显身手的主力，因为实际中你求导的几乎一切，暗地里都是复合函数。经典的失误是忘了「乘以内部的导数」这一项——把 sin(2x) 的导数写成 cos(2x)，而正确的应是 cos(2x) * 2。只要有一个函数嵌在另一个里面，那个内部的导数就必须一路跟上。