乘积法则（product rule）

假设有两样东西同时在变大——比方说一个长方形，它的宽和高都随着时间在拉伸。它的面积增长得有多快？你也许会猜：把两个增长率相乘就好。但那漏掉了答案的大半。乘积法则才是两个函数之乘积的变化率的正确配方，而长方形这幅图恰好说明了为什么那个天真的猜法行不通。

法则是 (fg)' = f'g + fg'。用话说就是：乘积的导数等于（第一个的导数乘以第二个）加上（第一个乘以第二个的导数）。对于宽为 f、高为 g 的长方形，当两条边都向外微微一推时，新增的面积分成两条——一条来自宽的增长（以速率 f' 跨过整个高度 g），一条来自高的增长（以速率 g' 跨过整个宽度 f）。把这两条相加，就得到 f'g + fg'。

要避免的错误是写成 (fg)' = f'g'——这干脆就是错的。用一个小测试就能看出：设 f(x) = x、g(x) = x，于是 fg = x^2。乘积法则给出 (x^2)' = 1*x + x*1 = 2x，这是对的。而那条假法则 f'g' 会给出 1*1 = 1，这并不是 x^2 的导数。那两条面积是真实存在的，你不能丢掉其中一条。