商法则（quotient rule）

当一个量被另一个量除、而且两者都在变化时——比如人口除以面积得到密度，或距离除以时间得到速度（两者都在变）——你就需要一种办法来求这个比值本身变化得有多快。商法则正是干这个的：它给分式 f/g 求导，其中分子和分母各自都是函数。

法则是 (f/g)' = (f'g - fg') / g^2。用话说就是：分母乘分子的导数，减去分子乘分母的导数，整体再除以分母的平方。由于有那个减号，分子里的次序很要紧——把两项交换会使符号颠倒、给出错误答案。一个常用的口诀是「下乘上的导，减上乘下的导，除以下的平方」。它直接由乘积法则与链式法则对 f 乘 g^(-1) 联用推出。

两点提醒。这条法则只在 g 不为零的地方才有意义，因为你要除以 g^2。而且你常常可以完全绕开商法则：像 (3x)/x^2 这样的分式，改写成 3x^(-1) 用幂法则处理更省事，任何 1/g 也都能写成 g^(-1)。只有当分子和分母都确实是缠在一起的复杂函数时，商法则才真正派上用场。