隐函数求导（implicit differentiation）

有些曲线没法整整齐齐地写成「y 等于某个关于 x 的公式」。圆是最典型的例子：x^2 + y^2 = 1 把它描述得完美无缺，但要解出 y，你就被迫把它拆成两片（上半部和下半部），还带着别扭的平方根。隐函数求导是一种技巧，让你不必把曲线解开成 y = 某式，就能求出它上面的斜率。

思路是：把 y 当作 x 的函数（尽管它是隐藏的），然后对方程两边同时关于 x 求导，每当出现 y 就动用链式法则。对 x^2 + y^2 = 1 求导，得到 2x + 2y(dy/dx) = 0——注意链式法则给 y^2 这一项附上的 dy/dx。接着用代数解出 dy/dx，得到 dy/dx = -x/y。结果通常同时依赖 x 和 y，这没问题：把曲线上任何一点代进去，就得到那里的斜率。

让这套办法奏效的关键习惯，就是记住 y 暗地里是 x 的函数，所以你对每个 y 求导时都要带上一个 dy/dx——这个因子正是要害所在。像 y^3 这样的项，导数是 3y^2(dy/dx)，而不是 3y^2。隐函数求导也是相关变化率问题的解法所在，并且是反函数求导规则的根基。