相关变化率（related rates）

当你给气球充气时，好几样东西在一起变化：半径在增大，表面在拉伸，体积在膨胀——同时发生，彼此相连。相关变化率就是用来回答这类问题的技巧：如果我以稳定的速率打气，此刻半径增大的速度有多快？你知道一个变化率，想求另一个，而两者之所以彼此牵连，是因为这些量本身被一个公式牵连在一起。

这个方法的关键在于对时间求导。从联系各量的方程出发——比如球体的 V = (4/3) pi r^3——然后对两边关于 t 求导，把每个变量都当作时间的函数。链式法则把 r^3 变成 3 r^2 (dr/dt)，得到 dV/dt = 4 pi r^2 (dr/dt)。这时代入已知的变化率与已知的时刻，便可解出未知的变化率。经典的梯子问题如出一辙：长度固定为 L 的梯子靠墙，有 x^2 + y^2 = L^2，求导得 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0，把梯脚外滑的快慢与梯顶下滑的快慢联系起来。

最容易绊倒人的是操作顺序。要先求导——把变化的量当作时间的函数——然后才代入那一时刻的具体数值。若过早代入数值——在求导之前就把 r 固定为某个值——你就冻结了一个本该在运动的变量，它的变化率会从方程里消失，从而得出荒谬的结果。