反函数（inverse function）

反函数就是另一个函数的「撤销键」。如果一个函数完成了一项任务，它的反函数就把这项任务倒着做，把你带回出发点。先穿袜子再穿鞋，有一个反操作：先脱鞋再脱袜子。无论正向函数做了什么，反函数都一步步地把它倒回去。

我们把 f 的反函数记作 f^{-1}（读作「f 的反函数」；它不是倒数）。它由「撤销」来定义：对定义域中每个 x，有 f^{-1}(f(x)) = x；对值域中每个 y，有 f(f^{-1}(y)) = y。反函数要作为一个函数存在，f 必须是一一对应的——每个输出只能来自唯一的输入——否则撤销那一步就不知道该返回哪个输入。在图上，反函数是 f 关于直线 y = x 作镜像反射得到的图像，因为反射恰好交换了输入与输出的角色。

一个常见的失误是把 f^{-1}(x) 读成 1/f(x)。它不是这个意思——这里的 -1 标记的是「反操作」，不是幂次。当函数不是一一对应时，我们常限制它的定义域使之成立：x^2 在全体实数上没有反函数，因为 2 和 -2 共享一个输出，但在 x >= 0 上，它的反函数就是真正的函数 sqrt(x)。