函数（function）

函数是一条规则：你给它一个输入，它就准确地还给你一个输出。想象一台自动售货机：你按下「水」的按钮，得到的永远是水，绝不会一会儿出水、一会儿出巧克力。最关键的承诺是「恰好一个」——同一个输入绝不允许产生两个不同的答案。微积分自始至终研究的，正是当你滑动输入时，这些输出值如何变化。

我们通常给函数起个名字，比如 f，把输入 x 喂进去，写作 f(x)，读作「f 在 x 处的值」。规则允许接受的全部输入构成定义域；它原则上可能落入的全部值构成陪域。所以函数就是从定义域到陪域的一个映射。在图上有个快速的目测办法叫竖线检验：若有任何一条竖直线与曲线相交不止一次，这张图就不是函数的图像，因为那个输入会对应两个输出。

一个常见的误解是：函数一定得是一条整齐的公式。其实未必：函数可以用表格、图像、一句话规则（「向下取整到整数美元」）或像 f(x) = x^2 这样的公式给出。让它成为函数的，只是「单值」这条规则本身，而不在于规则用什么方式描述。