分部积分法（integration by parts）

分部积分法是用来对两样毫不相干的东西之乘积求积分的技巧——比如 x 乘 e^x，或 x 乘 sin(x)——这种情形里换元帮不上忙。你不去硬碰整个乘积，而是把它换成另一个、通常更容易的积分。这是一笔交易：你放弃那个难积分，换来一个简单的边界项加上一个更友好、便于收尾的积分。

它就是乘积法则的逆运算。乘积法则说，u*v 的导数是 u'v + uv'；重排并积分后得到公式 integral u dv = uv - integral v du。你把被积函数分成一部分叫 u（你将对它求导）和一部分叫 dv（你将对它积分），再代入公式。对 integral x e^x dx，取 u = x，dv = e^x dx；则 du = dx，v = e^x，于是结果是 x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C。

全部诀窍在于把 u 和 dv 选得好：你希望新的积分 integral v du 比一开始的更简单。一条常用的经验法则是 LIATE——按对数、反三角、代数、三角、指数这个次序，优先把排在前面的那个因子选作 u——因为那个因子求导后往往会变简单。糟糕的选法只会塞给你一个更难的积分，所以如果新积分看上去更糟，就把两者的选择对调，再试一次。