逻辑斯蒂方程（logistic equation）
纯指数增长——dy/dt = r*y——是个幻想：它说种群、银行存款或谣言会永远翻倍、毫无上限。现实有极限。逻辑斯蒂方程是最简单而诚实的修正，它让增长在资源充裕时以指数起步，却在种群逼近环境所能支撑的上限时温和地刹车。它是非线性模型的典范开篇，也是定性理论的展品。
它的形式是 dy/dt = r*y*(1 - y/K)，其中 r 是内禀增长率，K 是承载力。读这两个因子：当 y 小时，括号接近 1，增长几乎指数式，dy/dt 约等于 r*y；当 y 攀向 K 时，括号缩向 0，增长停滞；若 y 曾超过 K，括号变负，y 又回落。该方程可分离（也是一个 n = 2 的伯努利方程），其解是著名的 S 形曲线 y(t) = K/(1 + A*e^(-r*t))——起步缓慢、中段陡峭、在 K 处趋平。在相线上它有两个平衡点：y = 0（不稳定）与 y = K（稳定），于是每个正的初始种群都被导向承载力。
逻辑斯蒂方程是科学中最常被复用的模型之一：种群生物学、流行病与创新的传播、自催化化学反应、肿瘤生长，以及资源的加载曲线，都披着它的 S 形。它是把整个领域串起来的完美例题——可分离、可用伯努利法求解、带一条富有教益的相线和一个干净的稳定性判定。诚实的告诫是它是有意为之的简化：它假定固定的承载力、单一物种、无时滞、无年龄结构、无噪声，而真实种群常常偏离。
一个 r = 0.5/年、K = 1000 的鱼群服从 dy/dt = 0.5*y*(1 - y/1000)。从 100 起步，它缓慢上升，在陡峭的中段加速，最后在 1000 附近趋平——即那条 S 曲线，1000 是它不会长久超越的稳定承载力。
起初指数，随后刹车至承载力 K——经典的 S 形曲线。
逻辑斯蒂曲线并非唯一的 S 形增长律，平滑趋近 K 是一种建模假设，而非自然法则。加入时滞，或令 r 足够大，会使其离散版本陷入混沌——即著名的逻辑斯蒂映射——提醒我们这个干净的连续模型是一种简化。