平衡点与相线（equilibrium and phase line）

对自治方程，有一个优美的捷径，能把每个解的长期归宿都浓缩进一张一维图里——相线。主角是平衡点：什么都不变化的状态。若把系统恰好置于一个平衡点，它会永远停在那里，因为它的变化率为零。其余一切要么漂向某个平衡点，要么远离它，而相线告诉你是哪一种。

dy/dx = f(y) 的平衡点（或不动点、临界点）是使 f(y*) = 0 的值 y*。在这样的值上，常数函数 y = y* 恰好解出方程——一个永不移动的解。相线就是 y 轴本身，标上这些平衡点，并在它们之间的每个区间画一个箭头：f(y) 为正处指向上（y 增大），为负处指向下（y 减小）。要画它只需 f 的符号，不需要解。读这些箭头就告诉你：对任意起始值，随 x 增大解将奔向何处——你已把整套定性动力学捕捉在一根线上。

这种压缩正是自治性的回报：由于规则不依赖 x，整个二维流可以坍缩到一维而不丢失长期故事。相线是稳定性分析的天然家园（箭头收敛于一个平衡点意味着它稳定；发散意味着不稳定），也是用于方程组的相平面图的一维先祖。对逻辑斯蒂方程这类模型，它当即把承载力揭示为种群所趋向的那个稳定平衡点。