临界点（critical point）

想象你沿着一条起伏的山路行走，并记录自己的海拔。值得留意的，是那些地面一瞬间既不上升也不下降的位置——隆起的最高处、洼地的最低处，或是坡度突然改变的尖锐台阶。这些特别的位置就是临界点。其余地方地面要么明显在上坡、要么明显在下坡，所以那里藏不住什么有趣的东西。

确切地说，函数 f 的临界点，是定义域内满足以下两种情形之一的 x 值：要么 f'(x) = 0（切线是水平的），要么 f'(x) 不存在（出现尖角、尖点或竖直切线）。关键结论被称为费马定理：凡是落在区间内部的局部极大或极小，都必定出现在临界点处。因此，临界点就是区间内最高点与最低点的完整候选名单。

一个常见误解是以为每个临界点都是山峰或山谷——并非如此。函数 f(x) = x^3 满足 f'(0) = 0，但 x = 0 既非极大也非极小；曲线只是在那一瞬间变平，然后继续上升。临界点只是标出极值可能出现的地方，你仍需进一步检验，才能知道那里究竟发生了什么。