平衡点的稳定性（stability of an equilibrium）

两个平衡点都可以是完美的平衡状态，可一旦你轻推它们，行为却可能截然不同。碗底的一颗弹珠，轻推后会滚回——这是稳定的。圆顶之巅平衡着的一颗弹珠，轻推后会滚开、永不归来——这是不稳定的。稳定性所问的是：从平衡点附近出发的解会怎样——是回到它，还是逃离它？

对带平衡点 y*（其中 f(y*) = 0）的自治方程 dy/dx = f(y)，稳定性可直接从相线读出。若两侧箭头都指向 y*，附近的解收敛回它——它是稳定的（吸引子）。若箭头背离，附近的解逃逸——它是不稳定的（排斥子）。还有一个快速的解析判据，即线性化判据：看导数 f'(y*)。若 f'(y*) 为负则平衡点稳定；为正则不稳定。（直觉：在 y* 附近，方程近似为 dy/dx 约等于 f'(y*)*(y - y*)，即位移的指数增长或衰减——负的速率衰减回去，正的速率放大开来。）当 f'(y*) = 0 时判据失灵，必须直接察看 f 的符号；这样的点可能是半稳定的，一侧吸引、另一侧排斥。

稳定性是整个应用数学中最具实践重要性的观念之一，因为真实系统都坐落在它们的稳定平衡点上——处于承载力的种群、处于平衡浓度的化学反应、由恒温器控制在设定温度的房间。不稳定平衡点存在，却从不被长久观察到，因为最微小的扰动就把系统驱离。这个一维观念是更宏大的方程组稳定性理论的种子，那里本征值取代了单个导数 f'(y*)。