相平面分类（phase-plane classification）

不把每个变量对时间作图，而是把变量彼此相对地作图，看系统的状态在一个平面里描出一条曲线——相平面。对二维线性系统，每条轨线都呈现少数几种形状之一，对那个形状的分类便能让你一眼看出、无需求解便知系统在平衡点附近如何运行。

对平面中的 x' = A x，轨线在原点附近的几何完全由 2 乘 2 矩阵 A 的本征值决定。两个同号实本征值给出结点——所有轨线流入原点（稳定，皆负）或流出原点（不稳定，皆正）。两个异号实本征值给出鞍点——轨线沿一个方向趋近、沿另一个方向逃离，永远不稳定。一对复根 alpha 加减 i beta 给出焦点（螺线），当 alpha 为负时向内盘旋（稳定）、为正时向外盘旋（不稳定）；当 alpha 恰为零时轨线是闭合环，即中心，呈中性、不衰减的振荡。一种紧凑的概括用 A 的迹与行列式来定位各情形。

这种分类是整个动力系统定性理论的入口。对非线性系统，你在每个平衡点附近作线性化，由雅可比矩阵的本征值读出局部类型——于是鞍点、结点、焦点与中心组织起摆、捕食者–猎物模型、化学振荡子与电路的行为。一个诚实的告诫：像中心这样的临界情形，可能被线性化所忽略的非线性项所破坏，故线性意义下的“中心”在完整系统中可能实际上缓慢盘旋。