雅可比矩阵（Jacobian matrix）
/ Jacobian: yah-KOH-bee-an /
当一个映射把若干输入送到若干输出——比如把坐标 (x, y) 变成 (u, v)——它的导数不可能是单个数，甚至不能是单独一行；它必须记录每个输出如何响应每个输入。雅可比矩阵正是这本账：一张偏导数的网格，每个输出分量占一行，每个输入变量占一列。它是向量值映射的全导数，写成矩阵的形式。
对于把 (x, y) 送到 (F1, F2) 的映射 F，雅可比矩阵是 2 乘 2 矩阵 [partial F1 / partial x, partial F1 / partial y; partial F2 / partial x, partial F2 / partial y]。第 i 行第 j 列的元素是 partial Fi / partial xj。这个矩阵是 F 在某点附近的最佳线性逼近：F(a + h) 约等于 F(a) 加上 J 乘 h。它的方阵版本有一个行列式——雅可比行列式——度量映射如何拉伸或压缩微小的面积与体积，以及是否翻转定向；这个行列式正是多重积分换元公式中出现的因子。
雅可比矩阵是多元微积分以矩阵形式呈现的统一对象。映射复合的链式法则化为雅可比矩阵的普通矩阵乘法；反函数定理说映射恰在雅可比矩阵可逆（行列式非零）之处局部可逆；机器人学用它把关节角速度与末端执行器速度联系起来；数值求解器在求解方程组的牛顿法中使用它。每当你更换坐标或将向量场线性化，雅可比矩阵就是那台机器。
极坐标到直角坐标：x = r cos(theta)、y = r sin(theta)。其雅可比矩阵为 [cos(theta), -r sin(theta); sin(theta), r cos(theta)]，行列式为 r。这个 r 正是极坐标中面积元为 r dr d(theta) 的原因。
极坐标映射的雅可比行列式是 r——你带入积分中的局部面积拉伸因子。
区分矩阵与行列式：雅可比矩阵是导数（一张偏导网格），而雅可比行列式是从中算出的一个数，度量面积/体积的缩放。只有方映射才有行列式。