雅可比行列式（Jacobian determinant）
/ yuh-KOH-bee-uhn /
当一次坐标变换弯曲并拉伸平面时，新坐标里一个微小的正方形并不会映成旧坐标里同样大小的微小正方形——它映成一个微小的倾斜平行四边形，或大或小。雅可比行列式就是那个数，它告诉你这种扭曲在每一点处的局部面积缩放因子。在一维里它就是导数 dx/du；在二维或更高维里它是所有一阶偏导数所成矩阵的行列式。
对一个把 (u, v) 送到 (x(u, v), y(u, v)) 的映射，雅可比矩阵是偏导数的 2 乘 2 数组 [x_u, x_v; y_u, y_v]，而雅可比行列式 J 是 x_u 乘 y_v 减去 x_v 乘 y_u。从几何上看，这个矩阵的两列，是 u 方向和 v 方向单位步长的像向量；它们行列式的绝对值，就是它们所张平行四边形的面积——正是单位 uv 面积被重新缩放成 xy 面积的那个因子。三维里它是一个 3 乘 3 的行列式，其绝对值给出体积缩放因子。J 的符号记录映射保持还是翻转了定向；做积分时你取它的绝对值。
雅可比是换元定理的主力：旧坐标里的 dA 等于 J 的绝对值乘以新坐标的面积元，dV 也类似。这就是极坐标里那个 r（J = r）、柱坐标里那个 r（J = r）、球坐标里那个 rho^2 sin(phi)（J = rho^2 sin(phi)）的来源。它也出现在概率里（变换随机变量的密度）、力学里（更换位形变量），以及反函数定理里——某点处雅可比不为零，就担保了映射在那里局部可逆。一个有用的捷径：逆映射的雅可比是原雅可比的倒数，所以你可以算哪个方向更容易就算哪个。
对 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)：x_r = cos(theta)，x_theta = -r sin(theta)，y_r = sin(theta)，y_theta = r cos(theta)。所以 J = det[cos(theta), -r sin(theta); sin(theta), r cos(theta)] = r cos^2(theta) + r sin^2(theta) = r。
算出偏导数的 2 乘 2 行列式，从头恢复了极坐标的面积因子 r。
留意你对哪个方向求导。积分里的因子是旧坐标对新坐标的雅可比（例如 (x, y) 对 (r, theta)）。误用倒数会把面积因子取反。