体积元（volume element）

体积元就是那个小小的空间盒子，当你计算一个多重积分时，你把它们的贡献加起来——三重积分里的 dV，或它的二维表亲、二重积分里的面积元 dA。它是坐落在一点处的无穷小体积（或面积）量，当你换坐标时它的形式也随之改变，因为弯曲的坐标网把空间切成大小不等的格子。把体积元弄对，正是一个正确的积分与一个悄悄错掉的积分之间的区别。

在直角坐标里，体积元是显然的 dV = dx dy dz，一个边长相等的小矩形盒子。在任何别的坐标系里，你都要乘以雅可比的绝对值，它等于标度因子的乘积：dV = h1 h2 h3 du1 du2 du3。这就是为什么柱坐标里 dV = r dr d-theta dz（格子是一块楔形，其宽度随 r 增大），以及球坐标里 dV = rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta（靠近两极和原点的格子很小，靠近赤道、大半径处的格子很大）。同样的逻辑在二维里给出极坐标面积元 dA = r dr d-theta。几何图像永远一样：体积元就是坐标网格线在那一点处所围的微小平行六面体的体积。

多重积分所计算的一切——质量、电荷、质心、转动惯量、平均值、概率——字面上就是 (密度乘体积元) 在一个区域上的和，所以体积元是这每一个公式里默默无闻的英雄。整个多元积分中最常见、也最致命的错误，就是换了坐标却忘了换体积元：把 r dr d-theta 写成 dr d-theta，或把 rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta 写成 d-rho d-phi d-theta。这个因子不是装饰；它编码了一个事实——被量度的是物理空间，而不是坐标网格。