三重积分（triple integral）

三重积分是把二重积分再向上提一个维度：你不再把一个量在平面区域上求和，而是在三维空间里的一团实体上求和。你无法想象四维图像下方的体积，所以更干净的办法是直接这样想：空间中坐着一个实体 E，它的每一点上都有某个密度 f(x, y, z)——单位体积的质量、单位体积的电荷，或者干脆就是数字 1。f 在 E 上的三重积分，把 f 乘以一小块体积在整个实体上累加起来，报出这个总和。

其构造与二重积分如出一辙。把 E 切成许多小盒子，每个体积为 delta-V = delta-x 乘 delta-y 乘 delta-z，在每个盒子里取样本点算出 f，组成乘积 f delta-V，再相加。当盒子缩小时的极限，记作 f(x, y, z) dV 在 E 上的三重积分，其中直角坐标下的体积元 dV 是 dx dy dz。当 f 为常数 1 时，三重积分就直接给出 E 的体积。和二重积分一样，你把它当作三个嵌套的普通积分来算，一次剥去一个变量，内层的上下限描述了当你向外移动时实体横截面如何变化。

三重积分是描述一个实体所承载的一切的自然语言：由可变密度 rho(x, y, z) 算出的总质量、质心、绕某轴的转动惯量、一个区域内储存的总引力能或静电能，或者三个联合分布随机变量的概率质量。在实际问题里直角坐标的盒子 dx dy dz 很少方便——球、柱、锥都呼唤柱坐标或球坐标，它们的体积元（r dr d-theta dz 与 rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta）吸收了区域的几何，使上下限变得简单。