质心（center of mass）

一个物体的质心，是这样一个点：可以设想把它的全部质量都集中在此处，而不改变它如何平衡、也不改变它如何对力作出反应。把一块平板恰好用针顶在这一点正下方，它会平放；把一把扳手旋转着扔过房间，这一点会划出一条平滑的抛物线，而扳手的其余部分绕着它翻滚。它是物体所有小块位置的、按质量加权的平均。

当物体有连续的、可能可变的密度时，多重积分正是你找到它的办法。对一块面密度为 rho(x, y)、位于区域 R 上的平面薄片，先把总质量 M 算作 rho dA 在 R 上的二重积分。然后质心的坐标是按质量加权的平均：x-bar 等于 (1/M) 乘以 x rho dA 在 R 上的二重积分，y-bar 等于 (1/M) 乘以 y rho dA 在 R 上的二重积分。分子里的积分是关于各轴的矩。对实体，同样的公式改用三重积分和体密度 rho(x, y, z)，给出三个坐标。当密度为常数时它从比值里约去，质心退化为形心——区域的纯几何平均位置。

这是工程与物理的家常便饭：定位横截面的形心以找出梁会在何处弯曲、找出车辆的重心以判断它会不会翻、确定机械臂或飞机的平衡点。对称性是你的朋友——若一个物体有对称面或对称轴、且其密度尊重这种对称，质心必落在其上，这常在你动笔之前就消掉一两个积分。值得澄清的常见误解是：质心根本不必落在物体内部（想想甜甜圈或回旋镖），它也不等于外接盒子的中心。