转动惯量（moment of inertia）

质量量度的是让一个物体沿直线运动起来有多难；转动惯量量度的是让它绕某轴转起来有多难。它是转动版的质量。关键在于，它不只取决于有多少质量，还取决于那些质量相对于轴坐落在何处：离轴远的质量比同样多、离轴近的质量更抗拒转动，因为它必须被甩过一个更大的圆。这就是为什么花样滑冰运动员收臂会转得更快、为什么飞轮要把分量做在轮缘上。

对一个在离轴距离为 d 处的单个质点 m，转动惯量是 m 乘 d^2——质量乘以它距离的平方。对一个连续物体，你用多重积分把这些贡献加起来：绕某轴的转动惯量，是 (离轴距离)^2 乘密度再乘面积元或体积元，在区域上的二重或三重积分。对密度为 rho 的平面板，绕 x 轴的转动惯量是 y^2 rho dA 在 R 上的积分（因为 y 是离 x 轴的距离），绕 y 轴是 x^2 rho dA 的积分，绕原点的极转动惯量是 (x^2 + y^2) rho dA 的积分。由于距离以平方出现，它也被称作质量的二阶矩。这个平方正是要害：它不成比例地加重了远处质量的权重。

转动惯量是进入转动版牛顿定律的量：力矩等于转动惯量乘角加速度，正是「力等于质量乘加速度」的转动孪生。它支配飞轮如何储能、梁或轴在载荷下扭转多快（弯曲和扭转公式里出现的是密切相关的面积二阶矩）、单摆的摆动、卫星的翻滚。两个诚实的微妙之处：转动惯量是相对于选定的轴定义的，所以同一个物体绕不同的轴有不同的值；而平行轴定理让你从质心轴移到一条平行轴，只需加上 (总质量) 乘 (两轴间距离)^2，但仅限于平行轴之间。