柱坐标（cylindrical coordinates）

柱坐标不过是平面里的极坐标，再把普通的高度 z 叠在上面。空间中一个点标作 (r, theta, z)：r 和 theta 完全像极坐标那样描述它的影子落在地面上何处，而 z 是它在那地面上方飘多高。任何有对称轴的东西——管子、罐头、龙卷风、在缸里旋转的流体柱——在柱坐标里都最舒服，因为物体的轴变成了 z 轴，而圆形的横截面变成 r 和 theta 的简单范围。

换算是 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)，z = z。因为 z 方向原封不动，雅可比恰好就是极坐标那个 r——所以体积元是 dV = r dr d-theta dz。你可以从几何上读出它：一个小柱坐标盒子，底面是极坐标面积 r dr d-theta、高是 dz，所以体积是它们的乘积。要在柱坐标里对一个实体积分，你通常让 z 在下曲面 z = g(r, theta) 和上曲面 z = h(r, theta) 之间跑，再让 r 和 theta 扫过实体在平面上的影子——和二维里同样的积分区域思路，只是多了那个高度积分先做或后做。

柱坐标是处理圆柱、圆锥、旋转抛物面、以及任何绕某轴有旋转对称问题的常用工具——管内流动、带电导线的场、飞轮的转动惯量、棒中的热传导。拉普拉斯算子、散度、梯度在这套坐标里都有工程师常用的标准形式。要保持的一个习惯是：r dr d-theta dz 里的那个 r，和平面极坐标里那个容易被忘、却不可或缺的雅可比因子是同一个——而 theta 仍是循环的，所以要当心 theta = 0 与 theta = 2pi 是同一条射线、别重复计数。