极坐标（polar coordinates）

极坐标不靠「往右多远、往上多远」来定位平面上的点，而靠它离原点多远、朝哪个方向。一对 (r, theta) 给出离原点（极点）的距离 r，以及从正 x 轴量起的角度 theta。一个圆，在直角坐标里写成 x^2 + y^2 = a^2 那么别扭，在极坐标里变成漂亮简单的 r = a。对任何圆的东西，极坐标都是自然的语言。

换算是 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)，反过来 r = sqrt(x^2 + y^2)。对积分来说真正要紧的是面积元。一个由半径 r 与 r + dr、角度 theta 与 theta + d-theta 围成的小极坐标格子，不是边长为 dr 和 d-theta 的矩形——它是一块弯曲的小片，两条弧边长度并不相等。它的面积是 (r d-theta) 乘 dr，因为在半径 r 处张开角度 d-theta 的弧长为 r d-theta。所以极坐标的面积元是 dA = r dr d-theta。那个额外的 r 因子——极坐标映射的雅可比——是多元微积分里最常被忘掉的一个符号，悄悄丢掉它就会败坏每一个答案。

极坐标把圆盘、圆环、扇形、以及具有旋转对称的区域，化成上下限为常数或简单的积分。它正是你计算心形线 r = 1 + cos(theta) 的面积、圆盘上方抛物面下的体积、以及——最著名的——高斯积分的办法：把它平方会得到整个平面上的一个二重积分，而换到极坐标使它变得平凡，因为 r dr d-theta 里的那个 r 恰好是积 e^{-r^2} 所需要的。诚实的提醒是：极坐标并非唯一——原点同时拥有所有角度 theta（r = 0 吞掉了 theta），且给 theta 加 2pi 得到同一个点，所以粗心的设置会重复计数或漏掉一块区域。