高级积分技巧
多维高斯积分（multidimensional Gaussian integral）
/ GOW-see-an /
如果不是一条钟形曲线，而是同时在许多变量上有一座光滑的概率小山——一个 n 维的高斯——会怎样？多维高斯积分计算 e^(-(1/2) x^T A x) 在整个 n 维空间上的积分，其中 x 是 n 个变量的向量，A 是一个对称正定矩阵，它把小山倾斜并拉伸。了不起的结果把所有这些几何打包进一个干净的公式。
答案是 (2pi)^(n/2) 除以 A 的行列式的平方根——记作 sqrt((2pi)^n / det A)。推导靠对 A 对角化：对称正定矩阵可旋转到主轴，那里二次型裂成若干独立的单变量高斯之和，每个特征值一个。积分于是分解为 n 个普通高斯积分，其乘积各携带一个 1/sqrt(特征值)；把特征值相乘就重建出 det A。旋转的行列式为 1，所以不改变体积——这正是为何只有 A 的行列式留存下来。在指数里加一个线性项会移动峰位，并通过配方贡献一个因子。
这个公式是多元统计（多元正态分布的归一化）、平衡态统计力学，尤其是量子与统计场论的基石，那里自由（高斯）路径积分恰是此式，其中 A 是一个微分算子、det A 是一个泛函行列式。A 正定的条件不是技术细节：若有任一特征值非正，小山在该方向不衰减，积分发散，所以行列式公式只在每个特征值严格为正时成立。
在两个变量、A = [2, 0; 0, 8] 时，e^(-(1/2)(2x^2 + 8y^2)) 在平面上的积分是 sqrt((2pi)^2 / det A) = sqrt(4 pi^2 / 16) = pi / 2。
倾斜小山的全部几何塌缩成一个数：矩阵 A 的行列式。
公式要求 A 对称且正定——每个特征值严格为正。哪怕只有一个特征值为零或为负，积分就发散，公式里的 det A 也将无意义或为虚数。
又称
另见