黑塞矩阵的定性（definiteness of the Hessian）

黑塞矩阵汇集了函数的全部二阶偏导数，因而一次性描述了它的曲面在每个方向上的弯曲。定性是这个矩阵的一项性质，它告诉你弯曲是开口向上、向下还是混合。它正是极小、极大、鞍点这些词背后的精确含义。

对称矩阵 H 称为正定，若二次型 v 转置乘 H 乘 v 对每个非零方向 v 都严格为正——意味着无论你朝哪走，曲面都向上弯。若该二次型恒为负（处处向下弯）则为负定；若对某些方向为正、对另一些为负则为不定（鞍点）。最干净的检验是特征值：正定即所有特征值为正，负定即全为负，不定即正负混杂。低维下有一个等价检验，看顺序主子式的符号（西尔维斯特判据）。当某些特征值为零时，矩阵只是半定，二阶判别无法决断。

定性使二阶导数判别法得以运作，但它的作用远不止此。一个黑塞矩阵处处半正定的函数是凸函数，这是优化的黄金标准，因为此时每个驻点都是全局极小。定性还支配力学中平衡的稳定性（正定的刚度矩阵意味着稳定的静止位置）、最小二乘问题的适定性，以及统计中协方差矩阵是否合法。它是微积分与线性代数之间的桥梁。