二阶泰勒展开（多元）（second-order Taylor expansion, several variables）
一阶逼近把某点附近的曲面替换成它的切平面——平的，没有曲率。这往往太粗糙：切平面无法区分谷底、山顶与鞍点。二阶泰勒展开加入曲率项，用最佳的碗形（二次）曲面来拟合该点附近的函数，使得不仅函数值与斜率、连弯曲也一并吻合。
紧凑地写，在点 a 附近，f(a + h) 约等于 f(a) + grad f(a) 点乘 h + (1/2) h^T H(a) h，其中 grad f(a) 是梯度（线性的倾斜部分），H(a) 是黑塞矩阵（二次的弯曲部分），而 h^T H h 是读出沿步长 h 方向曲率的二次型。三个部分是：基点处的函数值、线性修正（全微分）、二次修正。残余误差是 |h| 的三阶量，所以对小步长，这个逼近显著优于线性逼近。它是 f(a) + f'(a) h + (1/2) f''(a) h^2 的多元类比。
这个展开是从黑塞矩阵通向实际结论的桥梁。在临界点处梯度项消失，剩下 f(a + h) 约等于 f(a) + (1/2) h^T H h，于是局部形状完全由黑塞矩阵的二次型决定——正定给出极小、负定给出极大、不定给出鞍点。这正是二阶导数判别法。同一个二次模型也是牛顿法每步所极小化的对象、是平衡点附近能量地形曲率的定义，并在一阶项相消时支撑误差分析与不确定度量化。
把 f(x, y) = e^x cos(y) 在 (0, 0) 处展开。这里 f(0, 0) = 1，grad f = (1, 0)，黑塞矩阵 [1, 0; 0, -1]，所以对小 (x, y)，f 约等于 1 + x + (1/2)(x^2 - y^2)——函数值、倾斜与曲率全部吻合。
函数值加梯度项加二分之一黑塞二次型——紧贴曲面的那条二次式。
当临界点处黑塞矩阵退化（有零本征值）时，二次项无法判定局部形状，你必须考察三阶或更高阶项——二阶判别法只会返回“无法判定”。