高斯积分（Gaussian integral）
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高斯积分是钟形曲线下的总面积：e^(-x^2) dx 在整条实轴上的积分。它的值是奇妙而优美的 sqrt(pi)。奇妙，是因为函数 e^(-x^2) 出了名地没有初等原函数——你写不出到某有限点为止的面积公式——然而一直到无穷的总面积竟是这个含 pi 的干净、精确的数。
经典求法是一道几何灵光。记积分为 I；则 I^2 是 e^(-(x^2 + y^2)) 在整个平面上的二重积分。换到极坐标，那里 x^2 + y^2 = r^2，面积元 dx dy 变成 r dr d(theta)。出现的那个 r 恰是让 e^(-r^2) r dr 可用普通换元积出的因子，积分塌缩为有限值 pi，于是 I = sqrt(pi)。单变量积分单独是不可能的；把它平方、升到二维就让它变平凡了。带尺度因子时，e^(-a x^2) 的积分是 sqrt(pi / a)。
这一个数支撑着全部概率与统计——正态分布的归一化正是为使其钟形曲线面积等于 1 而构造的——它还涌入统计力学、量子场论（那里路径积分是无穷维高斯积分）以及误差函数，后者正是没有闭式的部分高斯积分。值得记住的教训是：原函数非初等，并不意味着定积分未知；这里一个全局对称性就交给你一个精确值。
设 I = e^(-x^2) dx 在全体 x 上的积分。则 I^2 = e^(-(x^2+y^2)) dx dy 的二重积分 = 从 0 到 2pi、从 0 到无穷的 e^(-r^2) r dr d(theta) 积分 = 2pi * (1/2) = pi，于是 I = sqrt(pi)。
把积分平方并换到极坐标，产生让它变初等的那个 r 因子。
精确值 sqrt(pi) 是对整条直线而言的。到某有限 x 为止的部分高斯积分没有初等闭式——那正是（非初等的）误差函数，所以别指望一个整齐的原函数。