伽马函数（gamma function）
/ GAM-uh; the symbol is the capital Greek letter Gamma /
阶乘 5! = 5×4×3×2×1 只对整数有意义。伽马函数回答了一个自然的问题：能否画一条光滑曲线，恰好穿过所有阶乘点，从而让我们谈论 (1/2)! 甚至 (i)!？伽马函数记作 Gamma(x)，正是这条曲线——它把阶乘延拓到实数和复数自变量，用一条连续且无穷光滑的函数穿过所有整数阶乘点。
标准定义是一个积分：Gamma(x) = 从 0 到无穷对 t^{x-1} e^{-t} dt 的积分，在 x 实部为正时成立。一次分部积分就给出核心递推式 Gamma(x+1) = x 乘 Gamma(x)，这正是 n! = n×(n-1)! 的精确类比。由于 Gamma(1) = 1，这迫使对整数 n 有 Gamma(n+1) = n!，于是该函数确实在整数处插值了阶乘。著名的特殊值 Gamma(1/2) = 根号 pi（它其实是一个乔装的高斯积分）让它能够到达半整数点。反向使用递推式，可把 Gamma 解析延拓到除 0, -1, -2, ... 之外的所有复数，在这些点它有简单极点。
伽马函数是应用数学中最普遍的特殊函数。它是伽马分布和贝塔分布概率密度的归一化常数，决定了 n 维球的体积，出现在每一个分数阶微积分公式里，也是定义贝塔函数、误差函数族、贝塞尔函数和超几何函数的基石。一个常见误解：以为 Gamma(n) 等于 n!，实际上 Gamma(n) = (n-1)!——自变量平移了一位，这一平移坑过一代又一代学生。
Gamma(5) = 从 0 到无穷对 t^4 e^{-t} dt 的积分 = 4! = 24；而 Gamma(1/2) = 根号 pi 约等于 1.772。于是 Gamma(3/2) = (1/2) 乘 Gamma(1/2) = (根号 pi)/2。
递推式 Gamma(x+1) = x Gamma(x) 让一个值（这里是 Gamma(1/2)）生成整条半整数值的阶梯。
当心错位一位：Gamma(n) = (n-1)!，而不是 n!。干净的阶乘恒等式是 Gamma(n+1) = n!。