第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）

敲一下鼓面，或看石子落入圆形池塘后涟漪扩散，那图样并不是简单的正弦波：它振荡，但振幅随着以圆形向外扩散而衰减。第一类贝塞尔函数 J_n(x) 就是圆形与柱形几何的标准波——当世界有一个中心而非平直网格时，正弦余弦的径向类比。

J_n(x) 是在中心 x = 0 处保持有界、行为良好的有限解。它可写成幂级数：J_n(x) = 对 m 从 0 求和的 (-1)^m 除以 (m! Gamma(m+n+1)) 乘 (x/2)^{2m+n}，这已经显示出伽马函数在默默起作用。对大的 x，它趋于一个衰减且有相移的余弦：J_n(x) 约等于 根号(2 除以 pi x) 乘 cos(x 减 n pi/2 减 pi/4)，所以看起来像一列向外传播、振幅以 1 除以 根号 x 衰减的波——恰是二维涟漪保能扩散的方式。它的零点，即 J_n 消失的那些值，并非等距，被作为基本常数列表。

第一类贝塞尔函数决定圆鼓的振动频率、光纤或微波腔的模式、圆孔的衍射图样（艾里斑）、柱体中的热流，以及调频广播信号的频率成分。在这里它们作为有已知级数、渐近和零点的函数编目；定义它们的贝塞尔微分方程属于级数解主题。