第二类贝塞尔函数（Bessel function of the second kind）

二阶微分方程总有两个独立解，贝塞尔方程也不例外。第一类贝塞尔函数 J_n 是在中心保持有限的那个；它的搭档第二类贝塞尔函数 Y_n 是另一个独立解——在中心处发散，但在凡是排除了中心的区域都不可或缺。

Y_n(x)，又称诺伊曼函数，是与 J_n 线性无关的贝塞尔方程第二解。它的标志性特征是在原点处的奇异：当 x 趋于 0 时，Y_0(x) 表现得像 (2 除以 pi) ln x，发散到负无穷，而对 n 不小于 1 的 Y_n 以 1 除以 x^n 的方式发散。对大的 x，它同样变成一个衰减、有相移的正弦：Y_n(x) 约等于 根号(2 除以 pi x) 乘 sin(x 减 n pi/2 减 pi/4)——是类余弦的 J_n 的正弦搭档，于是二者一起张成所有振荡的柱形解，正如正弦余弦张成平直情形。

凡是区域不包含轴 x = 0 之处都需要 Y_n——两个同轴圆柱之间的场、环形（圈状）膜的振动、带中心障碍物的声学管道，或带空心芯的波导。把 J_n 与 Y_n 组合成汉克尔函数 J_n 加或减 i Y_n，给出向内和向外传播的柱面波，是散射与辐射的天然语言。产生两类函数的贝塞尔方程属于级数解主题。