汉克尔变换
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当一个问题沿直线铺开时，傅里叶变换是恰当的工具，因为它的基本构件是波 e^{i k x}。但物理中许多问题是圆的——一面振动的圆鼓面、热量从圆盘里一点向外扩散、光穿过圆形透镜。对这些问题，自然的构件不是直的正弦波，而是贝塞尔函数，即尊重圆对称的径向驻波花样。汉克尔变换就是傅里叶变换的圆形亲戚，它用贝塞尔函数而非指数函数搭成。
精确地说，nu 阶的汉克尔变换把一个径向变量的函数 f(r) 送到 F(k) = 从 0 到无穷的 f(r) J_nu(k r) r dr，其中 J_nu 是 nu 阶第一类贝塞尔函数，而多出来的因子 r 是面积元的径向部分。它的逆变换形式相同，这使该变换几乎是自反的。它自然地出现：如果你对一个只依赖于到原点距离的函数（圆对称函数）做普通的二维傅里叶变换，角向积分就塌缩掉，留下的恰好是零阶汉克尔变换。所以汉克尔变换就是已经把旋转对称提取出去之后的二维傅里叶变换。
它的任务是为柱坐标和极坐标问题做傅里叶变换为笛卡儿问题所做的事：把拉普拉斯算子的径向部分变成乘法，把一个偏微分方程化为代数方程。它是带圆对称的圆盘和无穷半空间上边值问题的标准途径，是光学中圆孔衍射的标准途径（圆孔的衍射花样正是孔径的汉克尔变换），也用于轴对称的热与波问题。贝塞尔函数的阶 nu 由问题的角向部分决定，所以不同的角向模式使用不同阶的汉克尔变换。
一个均匀照亮、半径为 a 的圆孔的衍射花样，就是它的零阶汉克尔变换，给出艾里斑：一个明亮的中央圆盘，外围环绕着暗淡的圆环，强度正比于 (J_1(k a)/(k a))^2——这正是望远镜中一颗恒星的像是一个小圆盘而非一个点的原因。
圆孔的衍射花样就是它的汉克尔变换——决定望远镜分辨率的艾里斑。
汉克尔变换是多维傅里叶变换的径向指纹，而非另立门户的思想：它只适用于圆对称或轴对称问题的径向部分，而正确的阶 nu 必须与角向模式相匹配，否则答案就错了。