傅里叶-贝塞尔级数（Fourier-Bessel series）
/ BESS-uhl /
敲击鼓面，你看到的图样不是正弦波——而是由贝塞尔函数定下的同心圆环。傅里叶-贝塞尔级数把圆盘半径上的函数展开为一组在边缘处为零的标度贝塞尔函数之和，是普通傅里叶级数在径向上的对应物。每当几何为圆形或柱形、天然的径向模式是贝塞尔函数时，它就是恰当的基底。
固定阶数 m。函数 J_m(alpha_k r / a)（alpha_k 为 J_m 的第 k 个正零点）是 [0, a] 上贝塞尔斯图姆-刘维尔问题的本征函数，关于权 w = r 正交：除非 j = k，否则 integral from 0 to a of J_m(alpha_j r/a) J_m(alpha_k r/a) r dr 为零。于是径向函数 f(r) 展为 f(r) = sum over k of c_k J_m(alpha_k r / a)，系数 c_k 由 f 关于权 r 对 J_m 投影、再除以范数平方得到，后者算得为 (a^2/2) J_{m+1}(alpha_k)^2。一个易忘的关键细节是权 r dr——它来自圆盘的面积元，恰是自伴形式所要求的权。
傅里叶-贝塞尔级数正是分离变量法在圆盘或柱体上求解热方程或波动方程的方式。分离出角向部分（给出 e^{i m theta}）与时间部分后，径向方程即贝塞尔方程，边缘处的边界条件选出零点 alpha_k，初始径向分布按傅里叶-贝塞尔级数展开，于是每个模式各自衰减或振荡。该级数像其他斯图姆-刘维尔展开一样在均方意义下收敛；在间断附近呈现同样的吉布斯过冲，而零点 alpha_k 为无理数，故系数须数值计算。
在单位圆盘上把常数 f(r) = 1 展为零阶贝塞尔函数：1 = sum over k of c_k J_0(alpha_k r)，c_k = 2 / (alpha_k J_1(alpha_k))。最前几个 alpha_k 为 2.405, 5.520, 8.654, ...——这些 J_0 的零点定下振动圆膜的径向节点。
贝塞尔零点定下鼓面的径向节点；系数把一个平坦分布分配到这些环状模式上。
展开是对单一固定阶 m 的零点进行的；右端边界条件（函数为零，或其导数为零）会改变你所用的零点，而在系数积分中漏掉权 r dr 是这里最常见的错误。