贝塞尔方程
/ Bessel: BESS-ul /
任何在圆形或柱形区域上振动或扩散的事物——鼓面、光纤截面、圆管中的热、池塘上扩散的涟漪——在分离变量后，其径向部分都归结为同一个方程。贝塞尔方程（Bessel's equation）就是那个方程：勒让德角向方程在径向上的天然伴侣。它之于柱，正如勒让德之于球。
它是 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0，其中 n（阶）是参数，x 本质上是缩放后的半径。原点 x = 0 是正则奇点，所以用弗罗贝尼乌斯方法求解；指标方程 r^2 - n^2 = 0 给出指数 r = +n 与 r = -n。根 +n 产生第一类贝塞尔函数 J_n(x)，它有限、振荡，在中心保持有界。第二个独立解 Y_n(x)，即第二类贝塞尔函数，在原点处以对数方式发散（这是整数阶指标根相差整数的后果），故在任何包含轴线的区域中被舍弃。
这些函数表现得像“衰减的余弦”：对大的 x，J_n(x) 看上去像一个振幅以 1/sqrt(x) 衰减的余弦波，刻画了圆形涟漪如何扩散并减弱。它们的零点确定了鼓的共振频率与波导的截止模式；J_0 支配着冷却圆柱中的温度。贝塞尔方程正因柱对称性无处不在，而成为整个应用物理中使用最多的方程之一。
半径为 a、边缘夹紧的圆鼓面以径向轮廓为 J_0(k r) 的模式振动。边界条件 J_0(k a) = 0 迫使 k a 等于 J_0 的某个零点（第一个约为 2.405），这些零点确定了鼓的泛音频率——这正是为什么鼓不同于弦，有着非谐的、非整数的泛音序列。
J_0 的零点就是鼓的共振——它们不像弦的谐波那样等间距。
J_n 不是多项式：与勒让德或埃尔米特不同，贝塞尔的级数不截断，所以 J_n 是真正的无穷级数（一个超越函数）。“阶” n 不必是整数——半整数阶给出散射中用到的球贝塞尔函数。