指标方程
当你在正则奇点处尝试弗罗贝尼乌斯解 y = x^r 乘以幂级数时，首先要弄清的是指数 r——解从奇点处现身时的首项幂次。指标方程（indicial equation）就是钉死 r 允许取值的那个小代数方程。它是弗罗贝尼乌斯方法的守门人：先解它，其余一切随之而来。
把弗罗贝尼乌斯拟设代入微分方程，考察 x 的最低幂次即可得到它。由于按假设 a_0 不为零，那个最低幂次的系数必须自行为零，而这个条件是关于 r 的二次方程：通常为 r(r - 1) + p0 r + q0 = 0，其中 p0、q0 是 x P(x) 与 x^2 Q(x) 在奇点处的首项值。它的两个根 r1 与 r2（约定 r1 >= r2）称为指标根或指数。它们在你计算任何一个级数系数之前，就告诉了你两个解的首项行为 x^{r1} 与 x^{r2}。
两根之间的关系决定了整个解集的特征。若 r1 - r2 不是整数，你得到两个独立的、真正的弗罗贝尼乌斯级数。若 r1 = r2，两根重合，第二个解必含一个对数。若 r1 - r2 是正整数，第二个解可能需要、也可能不需要对数——必须检验。这一三分法正是为什么整数阶贝塞尔函数总与一个带对数奇性的第二解 Y 成对出现——那是指标根相等或相差整数的数学指纹。
n 阶贝塞尔方程在原点处的指标方程为 r^2 - n^2 = 0，所以 r = +n 与 r = -n。两根相差 2n。当 n 不致使两根相差整数时，它们给出 +n 阶与 -n 阶的独立解 J；当 n 为整数时两根相差整数，第二个解必为带对数的 Y。
指标根 +n、-n 解释了为何整数阶贝塞尔函数需要一个带对数的伴侣解。
指标方程只依赖于系数在奇点处的首项（最低阶）行为，而不依赖整个方程。所以你可以立刻从 p0 = lim x P(x) 与 q0 = lim x^2 Q(x) 读出指数，无需做完整的级数。