正则奇点
奇点分两个等级：温和的和狂野的。正则奇点（regular singular point）是奇异性足够温和的奇点，使得解仍具有可控的、只是略微破缺的形式——一个幂级数乘以 (x - x0) 的某个（可能是分数）幂，也许还带一个对数。非正则奇点（irregular singular point）则真正狂野，那里的解可能含有本性奇点（如 e^{1/x}），任何这种温和的拟设都无法刻画。这一区分告诉你能否使用弗罗贝尼乌斯方法。
具体地，把方程写成 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0。奇点 x0 是正则的，当且仅当两个乘积 (x - x0) P(x) 和 (x - x0)^2 Q(x) 都在 x0 处解析——也就是说 P 的发散不超过 1/(x - x0)，Q 的发散不超过 1/(x - x0)^2。若任一乘积仍发散，则 x0 是非正则的。其要旨是：给 P 乘一个 (x - x0) 幂、给 Q 乘两个，恰好足以消去允许范围内最坏的奇异性，留下一个有限的、定义良好的指标方程。
这是通向物理学中几乎每个特殊函数方程的门户。贝塞尔方程在 x = 0 处有 P = 1/x、Q = 1 - n^2/x^2；于是 x P = 1、x^2 Q = x^2 - n^2 都解析，所以 x = 0 是正则奇点——这正是弗罗贝尼乌斯方法奏效、贝塞尔函数得以作为级数存在的原因。勒让德方程同样在 +1 与 -1 处有正则奇点。认出“正则奇点”就是绿灯，表示你可以去找弗罗贝尼乌斯形式 (x - x0)^r 乘以幂级数的解。
对 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0 检验 x = 0。标准形式中 P = 1/x、Q = 1 - n^2/x^2。则 x P = 1、x^2 Q = x^2 - n^2 都是多项式——在 0 处解析——所以 x = 0 是正则奇点。相比之下 x^3 y'' + y = 0 有 Q = 1/x^3，而 x^2 Q = 1/x 仍发散，所以其原点是非正则的。
“P 乘一次、Q 乘两次”的检验是快速判定弗罗贝尼乌斯方法是否适用的方法。
“正则”不等于“无害”。正则奇点仍然是奇点：解在那里仍可能含分数幂、负幂或对数。“正则”只是说奇异性足够温和，使弗罗贝尼乌斯级数能在去心邻域内收敛。