弗罗贝尼乌斯方法
/ Frobenius: fro-BAY-nee-us /
在常点处普通幂级数即可解方程；在正则奇点处那种普通级数通常失效，因为解可能发散或带有分数幂。弗罗贝尼乌斯方法（method of Frobenius）是巧妙的升级：假定一个幂级数乘以一个未知幂 (x - x0)^r，让方程告诉你 r 必须是多少。它恰好在物理方程最有趣的那些点上拯救了级数解。
在正则奇点附近（取 x0 = 0），假设 y = x^r 乘以 sum（k>=0）a_k x^k，其中 a_0 不为零、指数 r 未知。代入方程，考察 x 的最低幂次：令其系数为零得到指标方程（indicial equation），它是关于 r 的二次方程，两个根 r1 与 r2 就是允许的首项指数。对每个根再得到一个确定 a_k 的递推关系。两个根通常给出两个独立解；但当 r1 与 r2 相等、或相差一个整数时，第二个解可能需要附加一个对数项——弗罗贝尼乌斯方法对这种情形也给出了配方。
这一个方法就生成了数学物理中那些以人名命名的函数。贝塞尔方程在原点有正则奇点；在那里用弗罗贝尼乌斯方法即得贝塞尔函数，包括分数阶的 J。超几何方程与合流超几何方程也以同样方式求解。每当柱、球或量子势阱中的问题在轴线或原点处产生奇点时，弗罗贝尼乌斯方法就是构造在那里保持有限的、物理有意义的解的工具。
对 2x y'' + y' + y = 0（在 0 处为正则奇点），尝试 y = x^r sum a_k x^k。最低幂次给出指标方程 2r(r-1) + r = 0，即 r(2r - 1) = 0，所以 r = 0 或 r = 1/2。两个根相差非整数 1/2，给出两个独立的弗罗贝尼乌斯解，其一以 x^{1/2} 起头——这是普通泰勒级数无法产生的分数幂。
由方程确定的不只是系数，还有指数 r。
弗罗贝尼乌斯方法只在正则奇点处适用。在非正则奇点处它失效（指标机制崩溃），此时需改用 WKB 等渐近方法。另外：当两根相等或相差整数时，不要默认有两个干净的级数解——要检查是否被迫出现对数项。