幂级数法
许多微分方程没有用初等函数写出的解，但物理仍然需要答案。幂级数法（power-series method）说：不要去找公式，而是一个系数一个系数地把答案搭起来。你假定解是一个无穷多项式——一个幂级数——把它代入方程，让方程本身决定每一个系数。它是在常点附近求解线性常微分方程的主力工具。
做法是机械的。围绕常点 x0 写 y = sum（k>=0）a_k (x - x0)^k。逐项求导得到 y' 和 y''，把三者都代入方程，按 (x - x0) 的幂次归并，并要求每个幂次的系数为零（因为整个和必须恒等于零）。这给出一个递推关系，用前面的系数表示每个 a_k。你可以自由选取 a_0 和 a_1（二阶方程的两个任意常数，由初始条件确定）；之后每个系数都由递推算出。结果是两个独立解，呈显式的、收敛的级数。
这正是艾里方程 y'' = x y、简谐方程、以及勒让德、埃尔米特、切比雪夫方程的解析部分在有人为多项式命名之前的真实求法。它的优点是普遍与诚实：在常点处它总是奏效，级数收敛，截断后给出可用的数值近似，误差可控。它的局限在于级数只保证在 x0 附近收敛（直到最近的奇点），而且它本身不处理奇点——对奇点要升级为弗罗贝尼乌斯方法。
用级数解 y'' + y = 0。令 y = sum a_k x^k；代入得递推 a_{k+2} = -a_k/((k+2)(k+1))。取 a_0 = 1、a_1 = 0 得到 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... = cos x；取 a_0 = 0、a_1 = 1 得到 x - x^3/3! + ... = sin x。该方法仅凭方程就重建出了熟悉的三角函数。
两个自由常数 a_0、a_1 生成两个独立解。
下标平移是大多数错误潜伏之处：把 y'' 写成级数后，要重新编号使每一项都带相同的幂次 (x - x0)^k，然后再令系数相等，否则会归并错项。